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Découverte d’une régularité cachée dans la suite des nombres premiers

Publié par Le Nouveau Paradigme sur 24 Mars 2016, 18:05pm

Catégories : #Sciences

 

La répartition des nombres premiers semble aléatoire. Mais une propriété qui avait échappé jusqu'ici aux mathématiciens vient d'être mise en évidence : deux nombres premiers successifs se terminent par le même chiffre plus rarement qu'attendu.

Nombres premiers
 
Shutterstock.com/megainarmy
 

L'auteur

Sean Bailly est journaliste àPour la Science

Pour en savoir plus

Robert J. Lemke Oliver, Kannan Soundararajan,Unexpected biases in the distribution of consecutive primes, 2016. (prépublication en ligne)

J.-P. Delahaye, Un terrain de course numériquePour la Science, n° 389, mars 2010.

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Les nombres premiers occupent une place particulière parmi les nombres. Depuis des millénaires, les mathématiciens décortiquent les propriétés de ces nombres qui ne sont divisibles que par 1 et par eux-mêmes. On les retrouve dans de nombreux domaines des mathématiques, et ils font l'objet de célèbres théorèmes ou conjectures, telles la conjecture de Goldbach ou l’hypothèse de Riemann. Ils jouent également un rôle clé dans les systèmes de chiffrage utilisés quotidiennement sur Internet. Les nombres premiers, et notamment leur répartition, sont encore entourés de nombreux mystères. Kannan Soundararajan et Robert Lemke Oliver de l’université Stanford, aux États-Unis, viennent de découvrir une nouvelle propriété étonnante : il existe des liens entre les nombres premiers consécutifs.

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31… Euclide a montré qu’il existe un nombre infini de nombres premiers, qui se font de plus en plus rares à mesure que l’on avance dans la suite des nombres entiers, mais malgré cette tendance, la répartition des nombres premiers semble à première vue aléatoire. Il n’y a a priori pas de corrélation particulière entre les caractéristiques de nombres premiers voisins.

À l’exception de 2 et 5, les nombres premiers ne peuvent se terminer par les chiffres 0, 2, 4, 6, 8 et 5 (sans quoi ils sont divisibles par 2 ou 5). Les nombres premiers se terminent donc par 1, 3, 7 ou 9. Et, a priori, si un nombre premier se termine par 9, il y autant de chance que le nombre premier suivant se termine par 1, 3, 7 ou 9. Mais on sait que la distribution des nombres premiers n’est pas complètement aléatoire : on connaît des régularités, tel le biais de Tchebychev selon lequel il y a plus de nombres premiers de la forme 4k+3 que 4k+1.

Kannan Soundararajan et Robert Lemke Oliver viennent de mettre en évidence un autre biais : le nombre premier suivant un nombre premier qui se termine par 9, par exemple,  a 65 % de chance de plus de se terminer par 1 que par 9. Kannan Soundararajan avait remarqué cette tendance en étudiant les nombres premiers inférieurs à 1000. Pour s’assurer de cette bizarrerie, Robert Lemke Oliver a écrit un programme pour étendre cette analyse à quelque 400 milliards de nombres premiers.

Ce qui a étonné les chercheurs est que ce biais est beaucoup plus fort que le biais de Tchebychev. Les deux chercheurs ont ainsi montré numériquement que les nombres premiers se terminant par le même chiffre ont tendance « à se repousser ». Personne ne l’avait remarqué jusqu’à présent !

Comment expliquer qu’il est plus rare de trouver deux nombres premiers consécutifs avec le même chiffre final ? La première idée est la suivante : prenons par exemple le nombre premier 43. Les nombres potentiellement premiers qui suivent sont 47, 49 et 51 avant d’arriver à 53 qui se termine aussi avec un 3. Il y aurait donc plus d’opportunités de tomber sur un nombre premier se terminant avec un autre chiffre (et de fait, 47 est premier). L’argument est raisonnable, mais les deux mathématiciens ont réalisé qu’il ne permettait pas d’expliquer l’importance du biais.

L’explication se cacherait dans une conjecture proposée par les mathématiciens anglais Godfrey Hardy et John Littlewood en 1923. Celle-ci donne une estimation de la fréquence d’apparition de certaines structures de nombres premiers nommés k-tuples, par exemple, les doublets de nombres premiers séparés de deux unités (aussi nommés nombres premiers jumeaux, tel 17 et 19), mais aussi des triplets, des quadruplets, etc. Cette conjecture, très générale, englobe par exemple la conjecture des nombres premiers jumeaux qui suppose qu’il existe une infinité de ces nombres premiers jumeaux. En regardant de plus près la conjecture de Hardy et Littlewood, on obtient des corrélations sur les derniers chiffres des nombres premiers qui se suivent. Et ces résultats correspondent parfaitement aux observations de Kannan Soundararajan et Robert Lemke Oliver.

Il faut noter que ces énoncés de Hardy et Littlewood sont non démontrés à ce jour. Ils sont cependant jugés très probables, car on les a testés numériquement avec une très grande précision. Cette nouvelle découverte vient indirectement confirmer que les conjectures de Hardy et Littlewood sont très probablement justes.

Quelles sont les conséquences de cette découverte ? Cela ne devrait pas avoir de conséquence sur la fiabilité des méthodes de cryptage. Néanmoins, les mathématiciens s’interrogent : ce biais est-il juste une bizarrerie des nombres premiers ou a-t-il un sens plus fondamental qui pourrait avoir une influence sur d’autres de leurs propriété et des conséquences dans d’autres domaines mathématiques ? Il est trop tôt pour le dire.

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lasorciererouge 28/03/2016 10:54

https://www.youtube.com/watch?v=P0tLbl5LrJ8

The Fibonacci séquence

Ti-Guy Lajasette 25/03/2016 14:17

Depuis quand 49 est-il un nombre premier ? N'est-il pas divisible par 7 ?

toto 06/04/2016 08:39

lire potentiellement.

Cordialement

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